Introducción a la aritmética modular.

Una de las herramientas más importantes de los números enteros, y que no se enseña en secundaria es la aritmética modular. Su planteamiento es tan sencillo como contar las horas: Si tenemos un reloj que marca 24 horas, ¿qué hora será cuando pasen x horas?

Para poner un ejemplo, supongamos que el reloj marca 13 horas, es decir la una del mediodía. si pasan  20 horas sumamos 20 + 13 y nos quedan 33, la hora que aparecerá en el reloj será 33-24 = 9, luego serán las 9 horas. Si sumamos a 13 un número de horas más elevado, digamos 45 horas sumamos 13 a 45 y tenemos 58, como 58 = 24 x 2 +10 tenemos que el reloj marcará las 10 horas.

¿Qué he hecho ahí? he calculado el resto de dividir 58 por 24, de esta manera cuento los giros completos del reloj y me quedo con la parte que cambia realmente la posición del reloj.
El resto de la división se llama módulo. y diremos que a es congruente con b módulo n cuando el resto de dividir b entre n es a. O en notación de Gauss:

a ≡ b (mod n)  <->  b = kn + a  para cualquier k entero

Este método también se puede aplicar a las horas y los minutos, en este caso las congruencias serán de módulo n.

A continuación voy a plantear una serie de ejercicios en formulario de Google, corregiré las respuestas cuando tenga al menos doce personas hayan hecho los ejercicios.

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Sistemas de numeración

Ya hemos comentado los números romanos y cómo se suman. Existen infinidad de sistemas numéricos, algunos de los más importantes todavía los utilizamos. A continuación voy a retratar tres que me han parecido curiosos e importantes.

El sistema dodecimal.

El sistema dodecimal surge al contar con el pulgar marcando cada una de las falanges de los dedos.

La numeración dodecimal, que todavía utilizamos para medir las horas, es bastante antigua, ya se utilizaba en tiempos de babilonia. Los romanos lo utilizaron para sus fracciones, ya que un tercio y un cuarto son divisores de doce.

Se puede contar hasta doce docenas (144) si utilizamos una mano para contar las unidades y otra para calcular las docenas. No sé la razón por la que se dejó de utilizar este sistema que se desecha para sólo contar hasta diez.

Numeración griega y cirílica.

Letra	Valor		Letra	Valor		Letra	Valor
α´	1		ι´	10		ρ´	100
β´	2		κ´	20		σ´	200
γ´	3		λ´	30		τ´	300
δ´	4		μ´	40		υ´	400
ε´	5		ν´	50		φ´	500
ϝ´ / ς΄ / στ´	6		ξ´	60		χ´	600
ζ´	7		ο´	70		ψ´	700
η´	8		π´	80		ω´	800
θ´	9		ϙ´ / ϟ´	90		ϡ´	900

Como se puede observar, la numeración griega es bastante complicada, se basa en el alfabeto griego para corresponder cada letra a un número, el sistema romano proviene de este método, aunque esté mucho más simplificado que el anterior.

El sistema de numeración ruso es una adaptación al sistema griego para su alfabeto propio, y se mantuvo en Rusia hasta bien entrado el siglo XVIII

Los números en ruso son diferentes en su formación dependiendo de cada decena, fruto de la utilización de este sistema.

Numeración Sexagesimal.

Se utiliza todavía para medir los segundos y las horas y para medir las coordenadas de la órbita terrestre. Se empezó a utilizar en tiempos de los babilonios porque 60 es un número con muchos divisores: 2,3,4,5,6, etc. Era el candidato idóneo para ahorrarse unas cuantas divisiones.

Numeración babilónica. Es un sistema mixto de simbólico –como el de los números romanos–  y posicional –los números árabes–.

Símbolos de la numeración maya

Notación vigesimal.

La utilizaron los mayas. Contaban con los dedos de las manos y de los pies, ya que solían ir descalzos, conocían el concepto de cero y realizaron importantes cálculos astronómicos mediante este sistema

Elevar a cero y multiplicar por cero

Multiplicación por cero

Todo el mundo sabe que multiplicar por cero es lo más fácil del mundo pero. ¿Por qué todo número multiplicado por cero es igual a cero? Ahí la cosa es más complicada.

Siendo a un número cualquiera y sabiendo las propiedades asociativa, distributiva y sabiendo que sumar algo a cero es dejar igual ese elemento, comenzamos con la demostración:

tenemos que a x 0= a(0+0)
usamos la propiedad distributiva en el segundo elemento y nos queda:

a x 0 =a x 0 + a x 0

Restamos por a x 0 los dos elementos y nos queda finalmente:

a x 0 = 0

El cero es el punto medio de los enteros.

Elevar cualquier número a cero

Aquí os muestro una demostración que está en este interesante artículo en el blog llamado Matemáticas Digitales. Básicamente utiliza las propiedades básicas de las potencias para resolver una de las fórmulas menos intuitivas de la historia de las matemáticas. También utiliza la regla de que un número dividido por cero no existe, esto ya lo trataremos en otra entrada. Esta podría ser una buena pregunta teórica para un examen. 

¿Cómo contar sin saber contar?

Calcular proviene del latín calculare, y tiene su raíz en la palabra calculus, es decir, piedra. Partiendo de esta pista podemos imaginarnos que el origen de los números comenzó con las piedras. Antes de ver la solución os recomiendo que completéis este formulario, cuando tenga respuestas diversas ya las escribiré en este blog.




Solución clásica: El Pastor y las Ovejas.

Tenemos un pastor que no sabe contar, tiene un corral lleno de ovejas. ¿Cuál sería su manera de saber si entran las mismas ovejas que las que han salido, es decir, cómo puede comprobar si se le ha perdido alguna oveja si no sabe contar?

La respuesta es bastante ingeniosa, El pastor tiene un saquito lleno de piedras —pequeñas, no queremos que el pobre hombre se hernie—. Cada vez que saca a sus ovejas llena el saco con una piedrecita, así pone más piedras, una por oveja, hasta que todos los animales salgan del corral. Cuando el pastor las traiga de vuelta al corral después de pastar el pastor quitará una piedra por bestia, si el saco queda vacío, están todas las ovejas, si no, le tocará buscar dónde se han quedado rezagadas las díscolas.

Este método también funciona con cabras.